問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3x-5\right)dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}{x}^2+5x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle {\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c{\displaystyle \int f\left(x\right)dx}}}$　　（ただし，$c$は積分定数）　･･････(1)

不定積分の基本式（2）より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}dx={\displaystyle \int f\left(x\right)dx}\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)dx}}}$　･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3x-5\right)dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle \int 3xdx-{\displaystyle \int 5dx}}}$

（(2)を適用して式を2つに分ける）

${\displaystyle =3{\displaystyle \int xdx-5{\displaystyle \int dx}}}$

（$3$，$5$が${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくる理由は(1)を参照）

${\displaystyle =3\cdot \frac{1}{1+1}{x}^2-5\cdot \frac{1}{0+1}x+C}$

（(3)を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}{x}^2-5x+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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