問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\log \left|\cos x\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}=\log \left|x\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

${\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$ の関係を利用し， ${\displaystyle \cos x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$ →　 ${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos x}dx}}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{t}\left(-1\right)dt}$

（ ${\displaystyle \cos x=t}$ ， ${\displaystyle \sin xdx=-dt}$ を与式に代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

${\displaystyle =-\log \left|t\right|+C}$

（(1)より）

${\displaystyle =-\log \left|\cos x\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）

( ${\displaystyle t=\cos x}$ より変数を $t$ から $x$ 元に戻した)

●別解

${\displaystyle \tan x=t}$とおく．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$${\displaystyle =1+{\tan }^{2}x}$${\displaystyle =1+t^2}$ ${\displaystyle \to dx=\frac{1}{1+t^2}dt}$ （参考： ${\displaystyle 1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ ）

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t\cdot \frac{1}{1+t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \cdot \frac{2t}{1+t^2}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|1+t^2\right|+C}$

（${\displaystyle \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=log\left|f\left(x\right)\right|+C}$ の公式を利用した）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|1+{\tan }^{2}x\right|+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left|\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right|+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log {\left|\cos x\right|}^{-2}+C}$

（ ${log}_a{R}^t=t{log}_{a}R$ の公式を利用した）

${\displaystyle =-\log \left|\cos x\right|+C}$

　

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最終更新日： 2025年9月15日

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