問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

■答

${\displaystyle -\log \left|\cos x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}=\log \left|x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

${\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$ の関係を利用し，${\displaystyle \cos x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin x}$　→　${\displaystyle \sin xdx=-dt}$

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos x}dx}}$

${\displaystyle =\int \frac{1}{t}\left(-1\right)dt}$

（${\displaystyle \cos x=t}$，${\displaystyle \sin xdx=-dt}$ を与式に代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

${\displaystyle =-\log \left|t\right|+C}$

（(1)より）

${\displaystyle =-\log \left|\cos x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=\cos x}$ より変数を$t$から$x$元に戻した)

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle {\displaystyle \int \tan xdx}}$

最終更新日： 2023年11月24日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)