問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\left(2-x\right)}^4}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3{\left(2-x\right)}^3}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{{\left(2-x\right)}^4}dx}}$

${\displaystyle 2-x=t}$ とおく（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-1}$　→　${\displaystyle dx=-dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{t^4}\cdot \left(-dt\right)}}$

（${\displaystyle 2-x=t}$ ，${\displaystyle dx=-dt}$ を与式に代入した）

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{1}{t^4}dt}}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int t^{-4}dt}}$

（式変形はここを参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{-4+1}{t}^{-4+1}+C}$　　（$C$は積分定数）

((1)を参照)

${\displaystyle =\frac{1}{3}{t}^{-3}+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(2-x\right)}^{-3}+C}$

（${\displaystyle t=2-x}$ より変数を$t$から$x$元に戻した）

${\displaystyle =\frac{1}{3{\left(2-x\right)}^3}+C}$　　（$C$は積分定数）

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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