不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$\int {sec}^{2} (5 x + \frac{π}{3}) d x$ 　　

$\frac{1}{5} tan (5 x + \frac{π}{3}) + C$ 　　（ $C$ は積分定数）

$\int {sec}^{2} x d x = tan x + C$ 　　（ $C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

$\int {sec}^{2} (5 x + \frac{π}{3}) d x$

$5 x + \frac{π}{3} = t$ と置いて，置換積分する．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

$\frac{d t}{d x} = 5$ 　→　 $d x = \frac{1}{5} d t$

よって

与式 $= \int {sec}^{2} t \cdot \frac{1}{5} d t$ 　

$= \frac{1}{5} \int {sec}^{2} t d t$ 　　

（不定積分の基本式の1つ目の式を参照）

$= \frac{1}{5} \cdot tan t + C$ 　　

（ヒントの公式(1)を適用した）

求まった答え $\frac{1}{5} tan (5 x + \frac{π}{3}) + C$ を微分し，積分前の式 ${sec}^{2} (5 x + \frac{π}{3})$ に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2023年11月24日