問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 2\sqrt{x-3}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{4}{3}\left(x-3\right)\sqrt{x-3}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式と，${\displaystyle f\left(ax+b\right)}$ の積分公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$　･･････(2)

を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int 2\sqrt{x-3}dx}}$

ヒントの(1)が適用できるようにルートを使わず指数を使って数式を表現する

${\displaystyle ={\displaystyle \int 2{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}}dx}}$

${\displaystyle =2\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1}{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}+1}+C}$　　（$C$は積分定数）

（ヒントの(1)と(2)を適用した）

${\displaystyle =\frac{4}{3}{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{4}{3}\left(x-3\right)\sqrt{x-3}+C}$　　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{4}{3}\left(x-3\right)\sqrt{x-3}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 2\sqrt{x-3}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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