問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(x+3\right)}^{2}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3+C}$

あるいは

${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3+3x^2+9x+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）)　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(x+3\right)}^{2}dx}}$

●解法1

置換積分を用いる

${\displaystyle x+3=t}$とおく．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ 　→　$dx=dt$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t^{2}dt}}$

(与式に，${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ ，$dx=dt$ を代入した)

${\displaystyle =\frac{1}{2+1}{t}^{2+1}+C}$ 　　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3+C}$ 　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

（${\displaystyle x+3=t}$より変数を$t$から$x$に戻した）

●解法2

被積分関数を展開してから積分の計算をする

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(x^2+6x+9\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+\frac{6}{1+1}{x}^{1+1}+9x+C}$　　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+9x+C}$ 　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

●備考

(2)を展開すると

${\displaystyle \frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3+C}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(x^3+3x^2\cdot 3+3x\cdot 3^2+3^3\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+9x+9+C}$

となり，${\displaystyle 9+C}$ を改めて${\displaystyle C}$とおくと，(3)となり，見た目は異なるが，どちらも与式の計算結果となる．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3+C}$， ${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3+3x^2+9x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle {\left(x+3\right)}^2}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2025年3月6日

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