問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 3x{\left(x+4\right)}^{3}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{5}{\left(x+4\right)}^5-3{\left(x+4\right)}^4+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int 3x{\left(x+4\right)}^{3}dx}}$

${\displaystyle x+4=t}$ と置き，置換積分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ 　→　${\displaystyle dx=dt}$

${\displaystyle x=t-4}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int 3\left(t-4\right)t^{3}dt}}$

(${\displaystyle x+4=t}$ , ${\displaystyle x=t-4}$，${\displaystyle dx=dt}$ を代入した)

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(3t^4-12t^3\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{3}{4+1}{t}^{4+1}-\frac{12}{3+1}{t}^{3+1}+C}$　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{5}{t}^5-3t^4+C}$

${\displaystyle =\frac{3}{5}{\left(x+4\right)}^5-3{\left(x+4\right)}^4+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{3}{5}{\left(x+4\right)}^5-3{\left(x+4\right)}^4+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 3x{\left(x+4\right)}^3}$ に戻ることを確認しなさい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle {\displaystyle \int 3x{\left(x+4\right)}^{3}dx}}$

　

最終更新日： 2023年11月24日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)