問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2}{x-a}dx}}$

■答

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\log \left|x\right|+C}}$　（$C$は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2}{x-a}dx}}$

${\displaystyle x-a=t}$ と置き，置換積分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ 　→　${\displaystyle dx=dt}$

${\displaystyle x=t+a}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{3{\left(t+a\right)}^2}{t}dt}}$

(${\displaystyle x-a=t}$ , ${\displaystyle x=t+a}$，${\displaystyle dx=dt}$ を代入した)

${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{3t^2+6at+3a^2}{t}dt}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(3t+6a+\frac{3a^2}{t}\right)}dt}$

(分子を分母の${\displaystyle t}$ で割る)

${\displaystyle =\frac{3}{1+1}{t}^2+6at+3a^2\log \left|t\right|+C}$　（$C$は積分定数）

（(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}{t}^2+6at+3a^2\log \left|t\right|+C}$

(${\displaystyle t=x-a}$ を元に戻す)

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{3}{2}\left(x-a\right)\left(x+3a\right)+3a^2\log \left|x-a\right|+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{3x^2}{x-a}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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