問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2+4}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{6}{\tan }^{-1}\frac{3x+1}{2}+C}$　 （$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の その他 より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}}dx=\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\frac{x}{a}+C}$　 （$C$は積分定数）

の公式を用いる．

■答

${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2+4}dx}$

この問題では，ヒントの公式の ${\displaystyle x}$ は${\displaystyle 3x+1}$，${\displaystyle a}$は$2$に対応している．公式を適用する．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2+2^2}}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}·\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{3x+1}{2}+C}$

（先頭の${\displaystyle \frac{1}{3}}$ については，ここを参照）

${\displaystyle =\frac{1}{6}{\tan }^{-1}\frac{3x+1}{2}+C}$

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{6}{tan}^{-1}\frac{3x+1}{2}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{1}{{\left(3x+1\right)}^2+4}}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日

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