問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xcos2xdx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1)

部分積分法より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int xcos2xdx}$ を求める．

${\displaystyle \int xcos2xdx=\int x{\left(\frac{1}{2}sin2x\right)}^{\prime }dx}$ 　

と見て部分積分法を用いる．

与式${\displaystyle =\int x{\left(\frac{1}{2}sin2x\right)}^{\prime }dx}$ 　

${\displaystyle =x\cdot \left(\frac{1}{2}sin2x\right)-\int x^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{2}sin2x\right)dx}$ 　

（部分積分法の公式を適用する）

${\displaystyle =x\cdot \left(\frac{1}{2}sin2x\right)-\int 1\cdot \left(\frac{1}{2}sin2x\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}xsin2x-\frac{1}{2}\int sin2xdx}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}xsin2x-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}cos2x\right)+C}$ 　

（${\displaystyle \int sin2xdx}$ の計算については，三角関数の積分を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}xsin2x+\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　

（${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが ${\displaystyle xcos2x}$ の原始関数である）

よって，定積分計算方法(ヒントの式(1))より

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xcos2xdx}$${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}xsin2x+\frac{1}{4}cos2x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$

となる．

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}xsin2x+\frac{1}{4}cos2x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$ 　

${\displaystyle =\left(\frac{\pi }{4}sin\pi +\frac{1}{4}cos\pi \right)}$${\displaystyle -\left(0+\frac{1}{4}cos0\right)}$ 　

${\displaystyle =-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}$ 　

${\displaystyle =-\frac{1}{2}}$ 　

　

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学生スタッフ作成
初版：2009年3月7日，最終更新日： 2023年11月23日

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