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次の問題を積分せよ(定積分).
∫π20sin4xcos2xdx
132π
∫π20cosnxdx=∫π20sinnxdx={n−1n⋅n−3n−2⋯12⋅π2n−1n⋅n−3n−2⋯23⋅1
n:偶数 | |
n:奇数 |
を用いる.
cos2x=1−sin2x (三角関数の関係式の1 番目の式を変形する)より
与式=∫π20sin4x(1−sin2x)dx
=∫π20(sin4x−sin6x)dx
=∫π20sin4xdx−∫π20sin6xdx (∵ 定積分の基本式(3))
ヒントの公式の n に代入する値が4 と 6 (偶数)なので,以下のようになる.
=34⋅12⋅π2−56⋅34⋅12⋅π2
=316π−532π
=132π
∫π20sin4xcos2xdx
=∫π20(sinxcosx)2sin2xdx
2倍角の公式を用いて式を変形する.
=∫π20(12sin2x)2⋅12(1−cos2x)dx
=18∫π20sin22x(1−cos2x)dx
=18{∫π20sin22xdx−∫π20sin22xcos2xdx}
sin2x=t とおく置換積分で解く
dtdx=2cos2x より cos2xdx=12dt
x:0→π2 のとき t:0→0
よって
=∫00t212dt=0
=18(π4+0)
=132π
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学生スタッフ作成
最終更新日:
2024年7月29日