Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分).

π20sin4xcos2xdx  

■答

132π  

■ヒント

ウォリス積分

π20cosnxdx=π20sinnxdx={n1nn3n212π2n1nn3n2231

n:偶数
n:奇数

を用いる.

■解説

cos2x=1sin2x三角関数の関係式1 番目の式を変形する)より

与式=π20sin4x(1sin2x)dx  

=π20(sin4xsin6x)dx  

=π20sin4xdxπ20sin6xdx   (∵ 定積分の基本式(3)

ヒントの公式の n に代入する値が46 (偶数)なので,以下のようになる.

=3412π2563412π2  

=316π532π  

=132π  

●別解

π20sin4xcos2xdx

=π20(sinxcosx)2sin2xdx

2倍角の公式を用いて式を変形する.

=π20(12sin2x)212(1cos2x)dx

=18π20sin22x(1cos2x)dx

=18{π20sin22xdxπ20sin22xcos2xdx}

  • π20sin22xdx =π2012(1cos2x)dx =12[x12sin2x]π20 =12{(π212sinπ)(012sin0)} =π4
  • π20sin22xcos2xdx

    sin2x=t とおく置換積分で解く

    dtdx=2cos2x より cos2xdx=12dt

    x:0π2 のとき t:00

    よって

    =00t212dt=0

=18(π4+0)

=132π

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題 >>π20sin4xcos2xdx

学生スタッフ作成
最終更新日: 2024年7月29日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)