問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^4\frac{1}{8x+3}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{8}log5}$ 　

■ヒント

(1) 定積分の基本式より，定理を用いる．

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　

(2) 基本となる関数の積分より，以下の公式を用いる

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）

(3) 以下の関係式を用いる．

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)}}$

■解説

ヒントの(1)，(2)，(3)より

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^4\frac{1}{8x+3}dx}$${\displaystyle =\frac{1}{8}{\left[\log \left|8x+3\right|\right]}_{\frac{1}{2}}^4}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{8}\left\{log\left|32+3\right|-log\left|4+3\right|\right\}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{8}\left(log35-log7\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{8}\cdot log\frac{35}{7}}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{8}log5}$ 　

　

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最終更新日： 2023年11月23日

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