次の問題を積分せよ(定積分)．
∫ 0 6 | x 2 − 1 | d x
5
定積分の基本式より
∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) ･･････(1)
基本となる関数の積分より
∫ x α d x = 1 α + 1 x α + 1 + C （ C は積分定数） ･･････(2)
まず， | x 2 − 1 | を場合分けする．
0 ≦ x < 2 のとき， | x 2 − 1 | = − ( x 2 − 1 )
2 ≦ x ≦ 6 のとき， | x 2 − 1 | = ( x 2 − 1 )
したがって
与式 = ∫ 0 2 { − ( x 2 − 1 ) } d x + ∫ 2 6 ( x 2 − 1 ) d x
（この定積分の基本式を参照）
= − ∫ 0 2 ( x 2 − 1 ) d x + ∫ 2 6 ( x 2 − 1 ) d x
（ − を積分記号 ∫ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）
ヒントの式(2)を適用する．
= − [ 1 2 ⋅ 1 2 x 2 − x ] 0 2 + [ 1 2 ⋅ 1 2 x 2 − x ] 2 6
= − [ x 2 4 − x ] 0 2 + [ x 2 4 − x ] 2 6
= − { ( 2 2 4 − 2 ) − ( 0 4 − 0 ) } + { ( 6 2 4 − 6 ) − ( 2 2 4 − 2 ) }
= − ( 4 4 − 2 ) + { ( 36 4 − 6 ) − ( 4 4 − 2 ) }
= − ( 1 − 2 ) + { ( 9 − 6 ) − ( 1 − 2 ) }
= − ( − 1 ) + { 3 − ( − 1 ) }
= 1 + ( 3 + 1 )
= 5
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学生スタッフ作成 最終更新日： 2025年6月9日
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