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定積分の問題
■問題
次の問題を積分せよ(定積分)．
∫60|x2−1|dx∫60∣∣x2−1∣∣dx
■解説動画
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■答
55
■ヒント
定積分の基本式より
∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a) ･･････(1)
∫xαdx=1α+1xα+1+C∫xαdx=1α+1xα+1+C （ CC は積分定数） ･･････(2)
■解説
まず， |x2−1|∣∣x2−1∣∣ を場合分けする．
0≦x<20≦x<2 のとき， |x2−1|=−(x2−1)∣∣x2−1∣∣=−(x2−1)
2≦x≦62≦x≦6 のとき， |x2−1|=(x2−1)∣∣x2−1∣∣=(x2−1)
したがって
与式 =∫20{−(x2−1)}dx=∫20{−(x2−1)}dx +∫62(x2−1)dx+∫62(x2−1)dx
（この定積分の基本式を参照）
=−∫20(x2−1)dx=−∫20(x2−1)dx +∫62(x2−1)dx+∫62(x2−1)dx
（ −− を積分記号 ∫∫ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）
ヒントの式(2)を適用する．
=−[12⋅12x2−x]20+[12⋅12x2−x]62=−[12⋅12x2−x]20+[12⋅12x2−x]62
=−[x24−x]20+[x24−x]62=−[x24−x]20+[x24−x]62
=−{(224−2)−(04−0)}=−{(224−2)−(04−0)} +{(624−6)−(224−2)}+{(624−6)−(224−2)}
=−(44−2)=−(44−2) +{(364−6)−(44−2)}+{(364−6)−(44−2)}
=−(1−2)+{(9−6)−(1−2)}=−(1−2)+{(9−6)−(1−2)}
=−(−1)+{3−(−1)} =−(−1)+{3−(−1)}
=1+(3+1)=1+(3+1)
=5
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最終更新日：
2025年2月21日
