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定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_3^7\frac{1}{x^2-1}dx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{1}{2}log\frac{3}{2}}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1)

部分分数より

${\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)}$ ･･････(2) 　

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{1}{x^2-1}dx}$ を求めておく．

${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$ を部分分数分解する．

${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}}$

とおき，両辺に ${\displaystyle x^2-1}$ をかけると

${\displaystyle 1=\left(x-1\right)a+\left(x+1\right)b}$ ･･････(4) 　　

（ ${\displaystyle x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$ と因数分解して計算する． ${\displaystyle 2}$ 次式の因数分解の公式の ${\displaystyle 5}$ 番目の公式を参照）

(4)において， ${\displaystyle x=1}$ の場合

${\displaystyle 1=\left(1+1\right)b}$

${\displaystyle b=\frac{1}{2}}$

また， ${\displaystyle x=-1}$ の場合

${\displaystyle 1=\left(-1-1\right)a}$

${\displaystyle a=-\frac{1}{2}}$

よって

${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)}$

となる(ヒントの式(2)を適用してもよい)．したがって

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2-1}dx}$ ${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx}$

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\int \frac{1}{x-1}dx-\int \frac{1}{x+1}dx\right\}}$

（不定積分の基本式の ${\displaystyle 2}$ 番目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\left(log\left|x-1\right|\right)-\left(log\left|x+1\right|\right)\right\}+C}$

（ヒントの式(3)を適用した．）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}$

（ ${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ の証明を参照）
（これが ${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(3))より

${\displaystyle {\int }_3^7\frac{1}{x^2-1}dx={\left[\frac{1}{2}log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]}_3^7}$

となる

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]}_3^7}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(log\frac{6}{8}-log\frac{2}{4}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(log\frac{3}{4}-log\frac{1}{2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{1}\right)}$

（ ${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ の証明を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\frac{3}{2}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年11月7日

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