問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{\pi }{12\sqrt{3}}}$

■ヒント

定積分の基本式

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

基本となる関数の積分

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}{tan}^{-1}\frac{x}{a}+C}}$ （ $C$ は積分定数）

を用いる．

■解答

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$

（この積分を参考にするとよい）

${\displaystyle =\int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{x+1}{\sqrt{3}}+C}$

（これが ${\displaystyle \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算(ヒントの式)より

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$ ${\displaystyle ={\left[\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right]}_0^{\sqrt{3}-1}}$

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left({tan}^{-1}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-{tan}^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left({tan}^{-1}1-{tan}^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$

（ ${\displaystyle {tan}^{-1}}$ については，アークタンジェントを参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\pi }{12\sqrt{3}}}$

●別解

${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$${\displaystyle =\frac{1}{3}{{\displaystyle \int }}_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)}^2+1}dx}$

${\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{3}}=\tan \theta }$ とおく置換積分をする．ただし，${\displaystyle -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}}$ ．

${\displaystyle x=\sqrt{3}\tan \theta -1}$

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=\frac{\sqrt{3}}{{\cos }^2\theta }\to dx=\frac{\sqrt{3}}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle x=0}$ のとき，${\displaystyle 0=\sqrt{3}\tan \theta -1}$，${\displaystyle \tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}}$ ，${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6}}$　ここを参照

${\displaystyle x=\sqrt{3}-1}$ のとき，${\displaystyle \sqrt{3}-1=\sqrt{3}\tan \theta -1}$ ，${\displaystyle \tan \theta =1}$ ，${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{4}}$　ここを参照

よって

与式${\displaystyle =\frac{1}{3}{{\displaystyle \int }}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{{\left(\tan \theta \right)}^2+1}\cdot \frac{\sqrt{3}}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle {\tan }^2\theta +1=\frac{1}{{\cos }^2\theta }}$ より

${\displaystyle =\frac{1}{3}{{\displaystyle \int }}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{\frac{1}{{\cos }^2\theta }}\cdot \frac{\sqrt{3}}{{\cos }^2\theta }d\theta }$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}{{\displaystyle \int }}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}1\cdot d\theta }$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}{\left[\theta \right]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\pi }{12\sqrt{3}}}$

　

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最終更新日： 2025年9月8日

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