問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{\pi }{12\sqrt{3}}}$

■ヒント

定積分の基本式

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

基本となる関数の積分

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}{tan}^{-1}\frac{x}{a}+C}}$　　（$C$は積分定数）

を用いる．

■解答

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$ 　を求めておく．

${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$

（この積分を参考にするとよい）

${\displaystyle =\int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{x+1}{\sqrt{3}}+C}$

（これが ${\displaystyle \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算(ヒントの式)より

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$ 　 ${\displaystyle ={\left[\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right]}_0^{\sqrt{3}-1}}$

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left({tan}^{-1}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-{tan}^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left({tan}^{-1}1-{tan}^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$

（${\displaystyle {tan}^{-1}}$ については，アークタンジェントを参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\pi }{12\sqrt{3}}}$

　

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最終更新日： 2023年11月23日

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