部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

$\int 2 log (2 x + 1) d x$

$(2 x + 1) log (2 x + 1) - 2 x + C$ （ $C$ は積分定数）

$\int f^{'} (x) g (x) d x$ $= f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x) d x$

を用いる．

${(2 x + 1)}^{'} = 2$ より

$f (x) = 2 x + 1$ ， $g (x) = log (2 x + 1)$ として部分積分を行う．

$\int 2 log (2 x + 1) d x$

$= \int {(2 x + 1)}^{'} log (2 x + 1) d x$ （この式は公式の左辺の $\int f^{'} (x) g (x) d x$ に対応する）

$= (2 x + 1) log (2 x + 1)$ $- \int (2 x + 1) {log (2 x + 1)}^{'} d x$

（この式は公式の右辺の $f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x) d x$ に対応する）

$= (2 x + 1) log (2 x + 1)$ $- \int (2 x + 1) \cdot \frac{2}{(2 x + 1)} d x$

（　 $log (2 x + 1)$ の微分はこの微分の計算が参考になる）

$= (2 x + 1) log (2 x + 1) - 2 \int d x$

$= (2 x + 1) log (2 x + 1) - 2 x + C$

与式 $= \int {(2 x)}^{'} log (2 x + 1) d x$

$= 2 x log (2 x + 1)$ $- \int 2 x {log (2 x + 1)}^{'} d x$

$= 2 x log (2 x + 1) - \int 2 x \frac{2}{2 x + 1} d x$

$= 2 x log (2 x + 1) - \int \frac{4 x}{2 x + 1} d x$

ここで

$\int \frac{4 x}{2 x + 1} d x = \int (2 - \frac{2}{2 x + 1}) d x$

$= 2 x - 2 \cdot \frac{1}{2} log (2 x + 1)$

$= 2 x - log (2 x + 1)$

となる．よって

$= 2 x log (2 x + 1) - {2 x - log (2 x + 1)}$ $+ C$

$= (2 x + 1) log (2 x + 1) - 2 x + C$

求まった答え $(2 x + 1) log (2 x + 1) - 2 x + C$ を微分し，積分前の式 $2 log (2 x + 1)$ に戻ることを確認しなさい．

最終更新日： 2025年8月21日