問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{3}dx}$ 　

■答

${\displaystyle x{\left(log2x\right)}^3-3x{\left(log2x\right)}^2+6x\left(log2x\right)}$${\displaystyle -6x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ 　

を用いる．

■解説

${\displaystyle x^{\prime }=1}$より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$，${\displaystyle g\left(x\right)={\left(log2x\right)}^3}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{3}dx}$ 　

${\displaystyle =\int x^{\prime }{\left(log2x\right)}^{3}dx}$　（この式は公式の左辺の${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^3-\int x{\left\{{\left(log2x\right)}^3\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^3}$${\displaystyle -\int x\cdot 3\cdot {\left(log2x\right)}^2\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2dx}$ 　

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^3-3\int {\left(log2x\right)}^{2}dx}$ 　

ここで，${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{2}dx}$の計算を行う．先程と同じように

${\displaystyle x^{\prime }=1}$より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ 　， ${\displaystyle g\left(x\right)={\left(log2x\right)}^2}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int {\left(log2x\right)}^{2}dx}$ 　

${\displaystyle =\int x^{\prime }{\left(log2x\right)}^{2}dx}$　（この式は公式の左辺の${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^2-\int x{\left\{{\left(log2x\right)}^2\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x{\left(log2x\right)}^2}$${\displaystyle -\int x\cdot 2\cdot \left(log2x\right)\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2dx}$ 　

となる．

さらに，ここで，${\displaystyle \int \left(log2x\right)dx}$の計算を行う．また先程と同じように

${\displaystyle x^{\prime }=1}$ 　より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ 　， ${\displaystyle g\left(x\right)=\left(log2x\right)}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int \left(log2x\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\int x^{\prime }\left(log2x\right)dx}$　（この式は公式の左辺の${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x\left(log2x\right)-\int x{\left\{\left(log2x\right)\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =x\left(log2x\right)-\int x\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2dx}$ 　

${\displaystyle =x\left(log2x\right)-\int dx}$ 　

${\displaystyle =x\left(log2x\right)-x+C}$ 　

となる．

最後に，これまでに求めたものを順に代入する．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle x{\left(log2x\right)}^3-3x{\left(log2x\right)}^2+6x\left(log2x\right)}$${\displaystyle -6x+C}$を微分し，積分前の式 ${\displaystyle {\left(log2x\right)}^3}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月23日

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