問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int x{e}^x\mathit{dx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle e^x\left(x-1\right)+C}$ （ $C$ は積分定数） 　

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

を用いる.

■解説

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=e^x}$ , ${\displaystyle g\left(x\right)=x}$

と対応させる.

${\displaystyle f\left(x\right)=\int e^x\mathit{dx}=e^x}$ （積分定数は省略している）

${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)={\left(x\right)}^{\prime }=1}$

よって

${\displaystyle \int x{e}^x\mathit{dx}=\int e^x\cdot \mathit{xdx}}$

${\displaystyle =\int {\left(e^x\right)}^{\prime }\cdot \mathit{xdx}}$

${\displaystyle =e^x\cdot x-{\displaystyle \int e^x\cdot {\left(x\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =e^x\cdot x-{\displaystyle \int e^{x}dx}}$

${\displaystyle =e^x\cdot x-e^x+C}$ （ $C$ は積分定数）

${\displaystyle =e^x\left(x-1\right)+C}$

　

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最終更新日： 2025年8月21日

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