置換積分

■問題

次の計算をせよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{\cos x}\sin x}dx}$

■答

${\displaystyle -e^{\cos x}+C}$（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

${\displaystyle \cos x=t}$ とおき，${\displaystyle t}$の式に変換して求める．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{\cos x}\sin x}dx}$　　　･･････(1)

${\displaystyle \cos x=t}$ とおく． （置換積分法）

両辺を${\displaystyle x}$ で微分すると，

${\displaystyle -\sin x=\frac{dt}{dx}}$

${\displaystyle -\sin xdx=dt}$

${\displaystyle dx=-\frac{1}{\sin x}dt}$

${\displaystyle \cos x=t}$，${\displaystyle dx=-\frac{1}{\sin x}dt}$を(1)の式に代入して，

${\displaystyle {\displaystyle \int e^t\cdot \left(-dt\right)}}$ ${\displaystyle =-{\displaystyle \int e^t}dt}$${\displaystyle =-e^t+C}$

置換していた${\displaystyle t}$を元に戻して，

${\displaystyle -e^{\cos x}+C}$（${\displaystyle C}$ は積分定数）

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最終更新日：2023年11月14日