定積分

■問題

次の定積分の値を求めよ.

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{e}x\log xdx}}$

■答

${\displaystyle \frac{e^2+1}{4}}$

■ヒント

部分積分法 を利用して解く．

今回の問題は， ${\displaystyle f(x)}$ と${\displaystyle g(x)}$の関係を逆にした表現の[定積分]

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)}dx={\left[f(x)g(x)\right]}_a^b}$${\displaystyle -{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)}dx}$

を利用する.

■解説

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{e}x\log x}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^e{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\cdot \log x}dx}$

${\displaystyle ={\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]}_1^e-{\displaystyle {\int }_1^e\frac{1}{x}}\cdot \frac{x^2}{2}dx}$

${\displaystyle =\left(\frac{e^2}{2}\log e-\frac{1^2}{2}\log 1\right)-{\displaystyle {\int }_1^e\frac{x}{2}}dx}$

${\displaystyle =\left(\frac{e^2}{2}\cdot 1-0\right)-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_1^{e}x}dx}$

${\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_1^e}$

${\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{e^2}{2}-\frac{1^2}{2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{e^2-1}{2}}$

${\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}}$

${\displaystyle =\frac{2e^2-e^2+1}{4}}$

${\displaystyle =\frac{e^2+1}{4}}$

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最終更新日：2024年7月17日