定積分

■問題

次の定積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^3\frac{4x}{1+x^2}}dx}$

■答

${\displaystyle 2\log 5}$

■解説

${\displaystyle 1+x^2=t}$ とおいて，置換積分を行う．

${\displaystyle 1+x^2=t}$を両辺${\displaystyle x}$ で微分すると，

${\displaystyle 2x=\frac{dt}{dx}}$

${\displaystyle 2xdx=dt}$

となる．

${\displaystyle 1+x^2=t}$に，積分範囲の上端，下端を代入すると，

${\displaystyle x=1}$ のとき，${\displaystyle t=2}$

${\displaystyle x=3}$ のとき，${\displaystyle t=10}$

となる．

積分変数を${\displaystyle x}$から${\displaystyle t}$ に変換すると，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^3\frac{4x}{1+x^2}}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_2^{10}\frac{2}{t}}dt}$

${\displaystyle =2{\displaystyle {\int }_2^{10}\frac{1}{t}}dt}$　(この積分はここを参照)

よって，この積分を解くと，

${\displaystyle =2{\left[\log \left|t\right|\right]}_2^{10}}$

${\displaystyle =2\left(\log 10-\log 2\right)}$ （対数の引き算についてはここを参照）

${\displaystyle =2\log \frac{10}{2}}$

${\displaystyle =2\log 5}$

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最終更新日：2023年11月14日