定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}{\sin }^{-1}(2x)+C}$          (C は積分定数)

■ヒント

以下の積分の公式を用いる．参照はこちら

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx={\sin }^{-1}\frac{x}{a}+C}$    ${\displaystyle (a>0)}$

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}}dx}$  を公式の形にすると，

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1^2-{(2x)}^2}}}dx}$ となる．

よって，

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1^2-{(2x)}^2}}}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{2x}{1}\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\sin }^{-1}(2x)+C}$           (C は積分定数)

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最終更新日： 2023年11月23日