部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle {\displaystyle \int {(\log x)}^2}dx}$

■答

${\displaystyle x{\left(\log x\right)}^2-2x\log x+2x+C}$           (C は積分定数)

■ヒント

部分積分法より，公式

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx=f\left(x\right)g\left(x\right)}$${\displaystyle -\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ 　

を用いる．

■解説

部分積分法の公式から，

${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(\log x\right)}^2}dx={\displaystyle \int 1\cdot {\left(\log x\right)}^2}dx}$

とおく．

${\displaystyle f^{\prime }(x)=1}$

${\displaystyle g(x)={\left(\log x\right)}^2}$

とすると，

${\displaystyle f(x)=x}$

${\displaystyle g^{\prime }(x)={\left\{{\left(\log x\right)}^2\right\}}^{\prime }=2\cdot \frac{1}{x}\cdot {\left(\log x\right)}^{2-1}}$${\displaystyle =\frac{2}{x}\left(\log x\right)}$

となる．

よって，

${\displaystyle {\displaystyle \int {(\log x)}^2}dx}$

${\displaystyle =x\cdot {\left(\log x\right)}^2-{\displaystyle \int x\cdot \frac{2}{x}\left(\log x\right)}dx}$

${\displaystyle =x{\left(\log x\right)}^2-{\displaystyle \int 2\log x}dx}$

${\displaystyle =x{\left(\log x\right)}^2-2{\displaystyle \int \log x}dx}$　　　･･････(1)

ここで，${\displaystyle {\displaystyle \int \log x}dx}$ について部分積分をする．

部分積分法の公式から，

${\displaystyle {\displaystyle \int \log x}dx={\displaystyle \int 1\cdot \log x}dx}$

とおく．

${\displaystyle f^{\prime }(x)=1}$

${\displaystyle g(x)=\log x}$

とすると，

${\displaystyle f(x)=x}$

${\displaystyle g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}}$

となる．

よって，(1)の続きを計算すると，

与式${\displaystyle =x{\left(\log x\right)}^2-2{\displaystyle \int \log x}dx}$

${\displaystyle =x{\left(\log x\right)}^2-2\left\{{\displaystyle \int x^{\prime }\cdot (\log x)}dx\right\}}$

${\displaystyle =x{\left(\log x\right)}^2-2\left\{x\cdot \left(\log x\right)-{\displaystyle \int x\cdot \frac{1}{x}}dx\right\}}$

${\displaystyle =x{\left(\log x\right)}^2-2\left\{x\log x-{\displaystyle \int 1}dx\right\}}$

${\displaystyle =x{\left(\log x\right)}^2-2\left\{x\log x-x\right\}+C}$

${\displaystyle =x{\left(\log x\right)}^2-2x\log x+2x+C}$           (C は積分定数)

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最終更新日： 2024年5月8日