置換積分

■問題

次の計算をせよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\tan }^{3}x{\sec }^{2}x}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}{\tan }^{4}x+C}$ （${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

${\displaystyle \tan x=t}$とおき，${\displaystyle t}$ の式に変換して求める．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\tan }^{3}x{\sec }^{2}x}dx}$　　　･･････(1)

${\displaystyle \tan x=t}$とおく．（置換積分法）

両辺を${\displaystyle x}$ で微分すると，

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{dt}{dx}}$

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=dt}$

${\displaystyle \frac{1}{\cos x}=\sec x}$ より，　（${\displaystyle \sec x}$ は${\displaystyle \cos x}$ の逆数である．読みは「セカント」．）

${\displaystyle {\sec }^{2}xdx=dt}$

${\displaystyle dx=\frac{1}{{\sec }^{2}x}dt}$

${\displaystyle \tan x=t}$，${\displaystyle dx=\frac{1}{{\sec }^{2}x}dt}$ を(1)の式に代入すると，

${\displaystyle {\displaystyle \int t^3}dt}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}{t}^4+C}$

置換していた${\displaystyle t}$ を元に戻して，

${\displaystyle \frac{1}{4}{\tan }^{4}x+C}$（${\displaystyle C}$ は積分定数）

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最終更新日：2023年11月14日