問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3x^2+2x\right)}dx}$  

■解説動画

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■答

${\displaystyle x^3+x^2+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx}$ ･･････(1)

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$ ･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$ （ $C$ は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(3x^2+2x\right)}dx}$

(1)を用いると

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int 3x^{2}dx+{\displaystyle \int 2xdx}}}$

(2)を用いると

${\displaystyle =3{\displaystyle \int x^{2}dx+2{\displaystyle \int xdx}}}$

(3)を用いて， ${\displaystyle {\displaystyle \int x^{2}dx}}$ ,     ${\displaystyle {\displaystyle \int xdx}}$  をそれぞれ積分する．

${\displaystyle =3·\frac{1}{3}{x}^3+2·\frac{1}{2}{x}^2+C}$ （ $C$ は積分定数）

${\displaystyle =x^3+x^2+C}$

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最終更新日： 2025年6月10日

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