問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2-10x-8}{x-4}dx}}$  

■答

${\displaystyle \frac{3}{4}{x}^2+2x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx}$　･･････(1)

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$　･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　(${\displaystyle \alpha }$ は${\displaystyle -1}$ 以外の実数) 　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3x^2-10x-8}{x-4}}dx}$  

${\displaystyle \frac{3x^2-10x-8}{x-4}}$の分子の次数が分母の次数より小さくなるように，式を変形する

${\displaystyle \frac{3x^2-10x-8}{x-4}}$ ${\displaystyle =\frac{\left(3x+2\right)\left(x-4\right)}{x-4}}$ ${\displaystyle =3x+2}$

よって

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(3x+2\right)dx}}$  

${\displaystyle ={\displaystyle \int 3xdx+{\displaystyle \int 2dx}}}$

(項ごとに分けることが可能となるのは(1)を参照）

${\displaystyle =3{\displaystyle \int xdx+2{\displaystyle \int dx}}}$

（${\displaystyle 3,2}$ が${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくるのは(2)を参照)

${\displaystyle =3\times \frac{1}{2}{x}^2+2\times x+C}$　　（$C$は積分定数）

((3)を参照)

${\displaystyle =\frac{2}{3}{x}^2+2x+C}$

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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