問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3}{2x-1}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{2}\log \left|2x-1\right|+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=\log \left|x\right|+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{3}{2x-1}dx}}$

${\displaystyle 2x-1=t}$とおき，置換積分を用いて計算する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{3}{t}\cdot \frac{1}{2}dt}}$

(${\displaystyle 2x-1=t}$，${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$を与式に代入した)

${\displaystyle =\frac{3}{2}{\displaystyle \int \frac{1}{t}dt}}$

（${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前に数字が来るのは不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}\log \left|t\right|+C}$　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1) を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{2}\log \left|2x-1\right|+C}$　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=2x-1}$ より変数を$t$から$x$に戻した)

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{3}{2}\log \left|2x-1\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{3}{2x-1}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日

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