問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{2}{1-x^2}dx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

被積分関数を部分分数に分解する．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{2}{1-x^2}dx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{2}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)dx}}$

${\displaystyle =\log \left|1+x\right|-\log \left|1-x\right|+C}$

以下の2つの公式を使って積分の計算をした．

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$ (ここを参照)

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$ (ここを参照)

${\displaystyle =\log \frac{\left|1+x\right|}{\left|1-x\right|}+C}$ （∵対数の計算則： ${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ ）

${\displaystyle =\log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C}$ （∵絶対値の性質5）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \log \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2025年3月8日

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