定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{4} x {cos}^{2} x d x$ 　

■答

$\frac{1}{32} π$ 　

■ヒント

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} x d x

= \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \dots \cdot \times \{\begin{matrix} \frac{π}{2} \\ 1 \end{matrix}

$n$ ：偶数	$n ≧ 1$
$n$ ：奇数

を用いる．

■解説

${cos}^{2} x = 1 - {sin}^{2} x$ （三角関数の関係式の $1$ 番目の式を変形する）より

与式 $= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{4} x (1 - {sin}^{2} x) d x$ 　

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} ({sin}^{4} x - {sin}^{6} x) d x$ 　

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{4} x d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{6} x d x$ 　

（定積分の基本式の $3$ 番目の式を参照）

ヒントの公式の $n$ に代入する値が $4$ と $6$ （偶数）なので，以下のようになる．

$= (\frac{4 - 1}{4}) \cdot (\frac{4 - 3}{4 - 2}) \cdot \frac{π}{2}$ $- (\frac{6 - 1}{6}) \cdot (\frac{6 - 3}{6 - 2}) \cdot (\frac{6 - 5}{6 - 4}) \cdot \frac{π}{2}$ 　

$= (\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}) - (\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2})$ 　

$= \frac{3}{16} π - \frac{5}{32} π$ 　

$= \frac{1}{32} π$ 　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日