問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_3^7\frac{1}{x^2-1}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}log\frac{3}{2}}$ 　　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1)

部分分数より

${\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)}$　･･････(2) 　

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

あらかじめ，${\displaystyle \int \frac{1}{x^2-1}dx}$ 　を求めておく． 　

${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$ を部分分数分解すると

${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}}$ 　　

とおき，両辺に${\displaystyle x^2-1}$ をかけると

${\displaystyle 1=\left(x-1\right)a+\left(x+1\right)b}$　･･････(4) 　　

（${\displaystyle x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$ と因数分解して計算する． ${\displaystyle 2}$ 次式の因数分解の公式の${\displaystyle 5}$ 番目の公式を参照）

(4)においｒｗ，${\displaystyle x=1}$ の場合

${\displaystyle 1=\left(1+1\right)b}$ 　　

${\displaystyle b=\frac{1}{2}}$ 　　

また，${\displaystyle x=-1}$ の場合

${\displaystyle 1=\left(-1-1\right)a}$ 　　

${\displaystyle a=-\frac{1}{2}}$ 　　

よって

${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)}$ 　　

となる(ヒントの式(2)を適用してもよい)．したがって

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2-1}dx}$ ${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\int \frac{1}{x-1}dx-\int \frac{1}{x+1}dx\right\}}$ 　　

（不定積分の基本式の${\displaystyle 2}$ 番目の式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\left(log\left|x-1\right|\right)-\left(log\left|x+1\right|\right)\right\}+C}$ 　　

（ヒントの式(3)を適用した．）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}$ 　　

（${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ の証明を参照）
（これが${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(3))より

${\displaystyle {\int }_3^7\frac{1}{x^2-1}dx={\left[\frac{1}{2}log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]}_3^7}$ 　　

となる

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}log\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]}_3^7}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(log\frac{6}{8}-log\frac{2}{4}\right)}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(log\frac{3}{4}-log\frac{1}{2}\right)}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{1}\right)}$ 　

（ ${\displaystyle {log}_a\frac{R}{S}={log}_{a}R-{log}_{a}S}$ の証明を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}log\frac{3}{2}}$ 　　

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日

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