問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^{2}2dx}$

■答

${\displaystyle 2}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1)

置換積分法より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ ･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int 2dx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int 2dx}$ ${\displaystyle =2x+C}$

（ ${\displaystyle 2}$ を積分すると ${\displaystyle 2x}$ になるのは，基本となる関数の積分の ${\displaystyle 1}$ 番めの式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが ${\displaystyle 2}$ の原始関数である）

よって，ヒントの式(1)より

${\displaystyle {\int }_1^{2}2dx={\left[2x\right]}_1^2}$

となる

${\displaystyle ={\left[2x\right]}_1^2}$ ${\displaystyle =2\left(2-1\right)}$ ${\displaystyle =2}$

この定積分の値は，下の図の赤色の領域の面積の値に相当する．

また，この問題は，置換積分法を用いても解くことができる．

■置換積分を用いた場合の答

あらかじめ， ${\displaystyle \int 2dx}$ を求めておく．

${\displaystyle 2x=t}$ とおいて置換積分をする．（置換積分の詳細は置換積分法を参照）

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ ∴ ${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$ ･･････(3)

よって

${\displaystyle \int 2dx}$ ${\displaystyle =\int 2\cdot \frac{1}{2}dt}$ ${\displaystyle =\int dt}$ ${\displaystyle =t+C}$

（ ${\displaystyle 1}$ を積分すると ${\displaystyle t}$ になるのは，基本となる関数の積分の ${\displaystyle 1}$ 番めの式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

${\displaystyle 2x=t}$ と置換していことより

${\displaystyle x=1}$ のとき ${\displaystyle t=2}$ , ${\displaystyle x=2}$ のとき ${\displaystyle t=4}$

よって，ヒントの式(２)より

${\displaystyle {\int }_1^{2}2dx={\int }_2^{4}dt={\left[t\right]}_2^4}$

となる．

${\displaystyle ={\left[t\right]}_2^4}$ ${\displaystyle =4-2}$ ${\displaystyle =2}$

この積分の値は，下の図の青色の領域の面積の値に相当する．

$2x=t$ の置換によって，赤色の領域が青色の領域に等積変換されている.

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年3月7日

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