問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^4{x}^{2}dx}$

■答

$21$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1)

置換積分法より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ ･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int x^{2}dx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int x^{2}dx}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^3+C}$

（ ${\displaystyle x^2}$ を積分すると ${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3}$ になるのは，基本となる関数の積分の ${\displaystyle 1}$ 番めの式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが， ${\displaystyle x^2}$ の原始関数である．）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(1))より

${\displaystyle {\int }_1^4{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_1^4}$

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(4^3-1^3\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(64-1\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 63}$ ${\displaystyle =21}$

この定積分の値は，下の図の赤色の領域の面積の値に相当する．

また，この問題は，置換積分法を用いても解くことができる．

■置換積分を用いた場合の答

あらかじめ， ${\displaystyle \int x^{2}dx}$ を求めておく．

${\displaystyle x=\sqrt{t}}$ ･･････(3)

とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}{t}^{-\frac{1}{2}}}$ ∴ ${\displaystyle dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}dt}$ ･･････(4)

よって

${\displaystyle \int x^{2}dx}$ ${\displaystyle =\int {\left(\sqrt{t}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}dt}$

（(1)，(2)ｓを式に代入する）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt}$

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\cdot t^{\frac{3}{2}}+C\right)}$

（ ${\displaystyle t^{\frac{1}{2}}}$ を積分すると ${\displaystyle \frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}}$ になるのは，基本となる関数の積分の1番目の式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C}$

はじめに ${\displaystyle x=\sqrt{t}}$ と置換しているので

${\displaystyle x=1}$ のとき ${\displaystyle t=1}$ , ${\displaystyle x=4}$ のとき ${\displaystyle t=16}$

よって，ヒントの式(2)より

${\displaystyle {\int }_1^4{x}^{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^{16}{t}^{\frac{1}{2}}dt={\left[\frac{1}{3}{t}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^{16}}$

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left({16}^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{{\left(4^2\right)}^{\frac{3}{2}}-1\right\}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(4^3-1\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}(64-1)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 63}$ ${\displaystyle =21}$

この積分の値は，下の図の青色の領域の面積の値に相当する．

${\displaystyle x^2=t}$ の置換によって，赤色の領域が青色の領域に等積変換されている.

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年3月7日

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