不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 2\sqrt{x-3}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{4}{3}\left(x-3\right)\sqrt{x-3}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式と，${\displaystyle f\left(ax+b\right)}$ の積分公式

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$　･･････(2)

を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int 2\sqrt{x-3}dx}}$

ヒントの(1)が適用できるようにルートを使わず指数を使って数式を表現する

${\displaystyle ={\displaystyle \int 2{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}}dx}}$

${\displaystyle =2\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1}{\left(x-3\right)}^{\frac{1}{2}+1}+C}$　　（$C$は積分定数）

（ヒントの(1)と(2)を適用した）

${\displaystyle =\frac{4}{3}{\left(x-3\right)}^{\frac{3}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{4}{3}\left(x-3\right)\sqrt{x-3}+C}$　　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{4}{3}\left(x-3\right)\sqrt{x-3}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 2\sqrt{x-3}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日