問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け．

${\displaystyle 1\leqq 4^t\leqq 8}$

■答

${\displaystyle 0\leqq t\leqq \frac{3}{2}}$

■計算

${\displaystyle 1}$${\displaystyle \leqq 4^t}$${\displaystyle \leqq 8}$

${\displaystyle 2^0}$${\displaystyle \leqq 2^{2t}}$${\displaystyle \leqq 2^3}$

底が$2$ ($>1$ )より

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq 2t}$${\displaystyle \leqq 3}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq t}$${\displaystyle \leqq \frac{3}{2}}$

■解説

与式を見ると，$4$と$8$は$2$の倍数である．

よって，2つの不等式の各辺を${\displaystyle 2^r}$ の形に変形する．

指数法則より

${\displaystyle 4^t}$${\displaystyle ={\left(2^2\right)}^t}$${\displaystyle =2^{2t}}$

${\displaystyle 8=2^3}$

また，１と指数の関係より

${\displaystyle 1=2^0}$

これらによって，不等式は次のようになる．

${\displaystyle 2^0\leqq 2^{2t}\leqq 2^3}$

底は$2$であり，$1$よりも大きい．

このことから，${\displaystyle 2^r}$の値の大小関係は指数$r$の大小関係と対応している．(ここを参照)

よって，次の式が成り立つ．

${\displaystyle 0\leqq 2t\leqq 3}$

ゆえに，求める${\displaystyle t}$ の範囲は

${\displaystyle 0\leqq t\leqq \frac{3}{2}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日

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