問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle {log}_9\sqrt[\text{4}]{\text{3}}+{log}_{\frac{1}{3}}9}$

■答

${\displaystyle -\frac{15}{8}}$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■解説

${\displaystyle {log}_9\sqrt[\text{4}]{\text{3}}+{log}_{\frac{1}{3}}9}$

底の変換公式を用いて，底を$3$にそろえる．

${\displaystyle =\frac{{log}_3\sqrt[4]{3}}{{log}_{3}9}+\frac{{log}_{3}9}{{log}_3\frac{1}{3}}}$

ここで

正の有理数の${\displaystyle \frac{m}{n}}$ を指数とする場合から

${\displaystyle {log}_3\sqrt[4]{3}}$${\displaystyle ={log}_3{3}^{\frac{1}{4}}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}}$

対数計算の基本から

${\displaystyle {log}_{3}9}$${\displaystyle ={log}_3{3}^2}$$=2$

${\displaystyle {log}_3\frac{1}{3}}$${\displaystyle ={log}_3{3}^{-1}}$$=-1$

よって

${\displaystyle =\frac{{log}_3{3}^{\frac{1}{4}}}{{log}_3{3}^2}+\frac{{log}_3{3}^2}{{log}_3{3}^{-1}}}$

${\displaystyle =\frac{\frac{1}{4}}{2}+\frac{2}{-1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{8}-2}$

${\displaystyle =-\frac{15}{8}}$

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最終更新日： 2023年11月29日

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