問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な対数の計算

■問題

次の式を簡単にせよ

${\displaystyle {log}_{\sqrt{3}}8+{log}_{2}3{log}_{9}4+{log}_{\frac{1}{3}}16}$

■答

${\displaystyle 2{log}_{3}2+1}$

■ヒント

対数計算の手順を参照

■解説

${\displaystyle {log}_{\sqrt{3}}8+{log}_{2}3{log}_{9}4+{log}_{\frac{1}{3}}16}$

底の変換公式を用いて，底を$3$に統一する．

${\displaystyle =\frac{{log}_{3}8}{{log}_3\sqrt{3}}+\frac{{log}_{3}3}{{log}_{3}2}\frac{{log}_{3}4}{{log}_{3}9}+\frac{{log}_{3}16}{{log}_3\frac{1}{3}}}$

ここで，対数の性質と指数に関する定義を用いて以下のように式を変形する．

${\displaystyle {log}_{3}8}$${\displaystyle ={log}_3{2}^3}$${\displaystyle =3{log}_{3}2}$

${\displaystyle {log}_3\sqrt{3}}$${\displaystyle ={log}_3{3}^{\frac{1}{2}}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{log}_{3}3}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

${\displaystyle {log}_{3}3}$${\displaystyle =1}$

${\displaystyle {log}_{3}4}$${\displaystyle ={log}_3{2}^2}$${\displaystyle =2{log}_{3}2}$

${\displaystyle {log}_{3}9}$${\displaystyle ={log}_3{3}^2}$${\displaystyle =2{log}_{3}3}$${\displaystyle =2}$

${\displaystyle {log}_{3}16}$${\displaystyle ={log}_3{2}^4}$${\displaystyle =4{log}_{3}2}$

${\displaystyle {log}_3\frac{1}{3}}$${\displaystyle ={log}_3{3}^{-1}}$${\displaystyle =-{log}_{3}3}$${\displaystyle =-1}$

となる．よって

${\displaystyle =\frac{{log}_3{2}^3}{{log}_3{3}^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{{log}_{3}2}\frac{{log}_3{2}^2}{{log}_3{3}^2}+\frac{{log}_3{2}^4}{{log}_3{3}^{-1}}}$

${\displaystyle =\frac{3{log}_{3}2}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{log}_{3}2}\frac{2{log}_{3}2}{2}+\frac{4{log}_{3}2}{-1}}$

${\displaystyle =6{log}_{3}2+1-4{log}_{3}2}$

${\displaystyle =2{log}_{3}2+1}$

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>指数／対数>>対数に関する問題>>基本的な対数の計算

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月29日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)