基本的な指数方程式の問題

■問題

図は $y = 3$ $y = 3$ を漸近線とする指数関数のグラフである．グラフを表す関数の式を求めよ．

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■答

$y = - 6 \cdot 2^{x} + 3$ $y = - 6 \cdot 2^{x} + 3$

または

$y = - 3 \cdot 2^{x + 1} + 3$ $y = - 3 \cdot 2^{x + 1} + 3$

■ヒント

指数関数は一般的に

$y = c \cdot a^{x} + b$ $y = c \cdot a^{x} + b$ (指数関数の一般形)　･･････(1)

と表せることを用いる．

$y = a^{x}$ $y = a^{x}$ グラフの漸近線は $x$ $x$ 軸である．よって， $y = c \cdot a^{x}$ $y = c \cdot a^{x}$ のグラフの漸近線も $x$ $x$ 軸となる．

$y = c \cdot a^{x} + b$ $y = c \cdot a^{x} + b$ のグラフは， $y = c \cdot a^{x}$ $y = c \cdot a^{x}$ のグラフを $y$ $y$ 軸方向に $b$ $b$ 平行移動したものになる．

したがって， $y = c \cdot a^{x} + b$ $y = c \cdot a^{x} + b$ のグラフの漸近線は， $y = b$ $y = b$ となる．

■解き方

漸近線が $y = 3$ $y = 3$ より

$b = 3$ $b = 3$

が得られ，(1)は

$y = c \cdot a^{x} + 3$ $y = c \cdot a^{x} + 3$ ･･････(2)

となる．

グラフが点 $(0, - 3)$ $(0, - 3)$ を通ることより

$- 3 = c \cdot a^{0} + 3$ $- 3 = c \cdot a^{0} + 3$ ･･････(3)

グラフが点 $(- 1, 0)$ $(- 1, 0)$ を通ることより

$0 = c \cdot a^{- 1} + 3$ $0 = c \cdot a^{- 1} + 3$ ･･････(4)

(3)，(4)を連立させて， $a$ $a$ ， $b$ $b$ を求める.

(3)より

$- 3 = c \cdot 1 + 3$ $- 3 = c \cdot 1 + 3$

$c = - 6$ $c = - 6$ ･･････(5)

が得られる．(5)を(4)に代入する．

$0 = - 6 a^{- 1} + 3$ $0 = - 6 a^{- 1} + 3$

$\frac{6}{a} = 3$ $\frac{6}{a} = 3$

$a = 2$ $a = 2$

となる.

以上より，グラフを表す指数関数の式は

$y = - 6 \cdot 2^{x} + 3$ $y = - 6 \cdot 2^{x} + 3$ ･･････(6)

となる．(6)は更に式変形をすることもできる．

$y = - 6 \cdot 2^{x} + 3$ $y = - 6 \cdot 2^{x} + 3$

$= - (3 \cdot 2) \cdot 2^{x} + 3$ $= - (3 \cdot 2) \cdot 2^{x} + 3$

$= - 3 \cdot (2 \cdot 2^{x}) + 3$ $= - 3 \cdot (2 \cdot 2^{x}) + 3$

$= - 3 \cdot 2^{x + 1} + 3$ $= - 3 \cdot 2^{x + 1} + 3$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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