基本的な指数方程式の問題

■問題

図は $x = - 1$ $x = - 1$ を漸近線とする対数関数のグラフである．グラフを表す関数の式を求めよ．

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■答

$y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1) + 1$ $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1) + 1$

$y = - \log_{3} (x + 1) + 1$ $y = - \log_{3} (x + 1) + 1$

■ヒント

対数関数は一般的に

$y = \log_{a} (x + b) + c$ $y = \log_{a} (x + b) + c$ (対数関数の一般形)　･･････(1)

と表せることを用いる．

$y = \log_{a} x$ $y = \log_{a} x$ グラフの漸近線は $y$ $y$ 軸である．

$y = \log_{a} (x + b) + c$ $y = \log_{a} (x + b) + c$ のグラフは， $y = \log_{a} x$ $y = \log_{a} x$ のグラフを $x$ $x$ 軸方向に $- b$ $- b$ ， $y$ $y$ 軸方向に $c$ $c$ 平行移動したものになる．

したがって， $y = \log_{a} (x + b) + c$ $y = \log_{a} (x + b) + c$ のグラフの漸近線は， $x = - b$ $x = - b$ となる．

■解き方

漸近線が $x = - 1$ $x = - 1$ より

$c = 1$ $c = 1$

が得られ，(1)は

$y = \log_{a} (x + b) + 1$ $y = \log_{a} (x + b) + 1$ ･･････(2)

となる．

グラフが点 $(0, 1)$ $(0, 1)$ を通ることより

$1 = \log_{a} (0 + b) + 1$ $1 = \log_{a} (0 + b) + 1$ ･･････(3)

グラフが点 $(2, 0)$ $(2, 0)$ を通ることより

$0 = \log_{a} (2 + b) + 1$ $0 = \log_{a} (2 + b) + 1$ ･･････(4)

(3)，(4)を連立させて， $a$ $a$ ， $b$ $b$ を求める.

(3)より

$\log_{a} b = 0$ $\log_{a} b = 0$

$b = 1$ $b = 1$ ･･････(5)

が得られる．(5)を(4)に代入する．

$0 = \log_{a} (2 + 1) + 1$ $0 = \log_{a} (2 + 1) + 1$

$\log_{a} 3 = - 1$ $\log_{a} 3 = - 1$

$a^{- 1} = 3$ $a^{- 1} = 3$ (∵対数の定義)

$\frac{1}{a} = 3$ $\frac{1}{a} = 3$ (指数が負の場合を参照)

$a = \frac{1}{3}$ $a = \frac{1}{3}$

となる.

以上より，グラフを表す対数関数の式は

$y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1) + 1$ $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1) + 1$

となる．底の変換公式を使って底を $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ から $3$ $3$ に変更すると

$y = \frac{\log_{3} (x + 1)}{\log_{3} \frac{1}{3}} + 1$ $y = \frac{\log_{3} (x + 1)}{\log_{3} \frac{1}{3}} + 1$

$y = \frac{\log_{3} (x + 1)}{- 1} + 1$ $y = \frac{\log_{3} (x + 1)}{- 1} + 1$

$y = - \log_{3} (x + 1) + 1$ $y = - \log_{3} (x + 1) + 1$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年2月13日

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