和の計算

■問題

次の和を求めよ．

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + \cdot \cdot \cdot + 2 n (2 n - 1)$ $2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + \cdot \cdot \cdot + 2 n (2 n - 1)$

■ヒント

数列を和記号 $Σ$ $Σ$ を用いて表し，和の公式が使えるよう式変形する．

■答

$\frac{1}{3} n (n + 1) (4 n - 1)$ $\frac{1}{3} n (n + 1) (4 n - 1)$

■解説

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + \cdot \cdot \cdot + 2 n (2 n - 1)$ $2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + \cdot \cdot \cdot + 2 n (2 n - 1)$

$n \sum k = 1 2 k (2 k - 1)$ $\sum_{k = 1}^{n} 2 k (2 k - 1)$ $= n \sum k = 1 (4 k^{2} - 2 k)$ $= \sum_{k = 1}^{n} (4 k^{2} - 2 k)$

和記号 $Σ$ $Σ$ の性質を用いる．

$= 4 n \sum k = 1 k^{2} - 2 n \sum k = 1 k$ $= 4 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{n} k$

$n \sum k = 1 k^{2}$ $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ の計算式と $n \sum k = 1 k$ $\sum_{k = 1}^{n} k^{}$ の計算式をそれぞれ用いる．

$n \sum k = 1 k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

$n \sum k = 1 k = \frac{n (n + 1)}{2}$ $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$ $= 4 \times \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - 2 \times \frac{n (n + 1)}{2}$ $= 4 \times \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - 2 \times \frac{n (n + 1)}{2}$

$= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{2 n (n + 1) \times 3}{2 \times 3}$ $= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{2 n (n + 1) \times 3}{2 \times 3}$

$= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{6 n (n + 1)}{6}$ $= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{6 n (n + 1)}{6}$

$= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1) - 6 n (n + 1)}{6}$ $= \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1) - 6 n (n + 1)}{6}$

$= \frac{2 n (n + 1) {2 (2 n + 1) - 3}}{6}$ $= \frac{2 n (n + 1) {2 (2 n + 1) - 3}}{6}$

$= \frac{1}{3} n (n + 1) {2 (2 n + 1) - 3}$ $= \frac{1}{3} n (n + 1) {2 (2 n + 1) - 3}$

$= \frac{1}{3} n (n + 1) (4 n - 1)$ $= \frac{1}{3} n (n + 1) (4 n - 1)$

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最終更新日： 2024年5月28日