和の計算

■問題

次の和を求めよ．

$\sum_{k = 1}^{n} (k + 2) (k - 5)$

和の公式

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ， $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

が使えるよう式変形する．

$\frac{1}{3} n (n^{2} - 3 n - 34)$

$\sum_{k = 1}^{n} (k + 2) (k - 5)$

$(k + 2) (k - 5)$ を展開する．

$= \sum_{k = 1}^{n} (k^{2} - 3 k - 10)$

$= \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - 3 \sum_{k = 1}^{n} k - 10 \sum_{k = 1}^{n} 1$

$= \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - 3 \times \frac{n (n + 1)}{2} - 10 n$

通分する．

$= \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{3 \times 3 \times n (n + 1)}{6} - \frac{60 n}{6}$

共通因数である $\frac{1}{6} n$ をくくり出す

$= \frac{1}{6} n {(n + 1) (2 n + 1) - 9 (n + 1) - 60}$

$= \frac{1}{6} n (2 n^{2} + 3 n + 1 - 9 n - 9 - 60)$

同類項をまとめ，降冪の順に並べる．

$= \frac{1}{6} n (2 n^{2} - 6 n - 68)$

共通因数である $2$ をくくり出す

$= \frac{1}{6} n \times 2 (n^{2} - 3 n - 34)$

約分する．

$= \frac{1}{3} n (n^{2} - 3 n - 34)$

学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日