三角形の面積の問題

■問題

空間座標上の3点${\displaystyle \text{A}\left(2,1,2\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}\left(1,3,1\right)}$ ，${\displaystyle \text{C}\left(1,-1,2\right)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{2}}$

■ヒント

三角形の面積の公式

${\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{{\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|}^2·{\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|}^2-{\left(\stackrel{⟶}{\text{AB}}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right)}^2}}$

を使う．あるいは

ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\text{×}\overrightarrow{\text{AC}}}$の大きさ は，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を2辺とする平行四辺形の面積となることを利用する． (外積の定義を参照)

平行四辺形の面積を${\displaystyle S}$ とすると

${\displaystyle S=\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$

となり，三角形の面積は

${\displaystyle \frac{S}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}{2}}$

となる．${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$${\displaystyle =\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)}$

(外積の成分表示を参照)

となる．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ,${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ の成分を求めると

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,3,1\right)-\left(2,1,2\right)=\left(-1,2,-1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,-1,2\right)-\left(2,1,2\right)=\left(-1,-2,0\right)}$

となる．

${\displaystyle {\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|}^2={\left(-1\right)}^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}$${\displaystyle =6}$

${\displaystyle {\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|}^2={\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2+0^2}$${\displaystyle =5}$

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{AB}}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}}$${\displaystyle =\left(-1,2,-1\right)\cdot \left(-1,-2,0\right)}$${\displaystyle =1-4}$${\displaystyle =-3}$

これらの値を使うと三角形の面積は公式より

${\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{6\times 5-{\left(-3\right)}^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}}$

となる．

次は，外積を使った方法で三角形の面積を求めてみる．

まず，外積${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求める．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)}$ より

${\displaystyle a_y{b}_z-a_z{b}_y=2\times 0-\left(-1\right)\times \left(-2\right)=2}$

${\displaystyle a_z{b}_x-a_z{b}_x=\left(-1\right)\times \left(-1\right)-\left(-1\right)\times 0=1}$

${\displaystyle a_x{b}_y-a_y{b}_x=\left(-1\right)\times \left(-2\right)-2\times \left(-1\right)=4}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=\left(2,1,4\right)}$

となる．

よって，平行四辺形の面積 ${\displaystyle \text{S}=\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$ は

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|=\left|\left(2,1,4\right)\right|=\sqrt{2^2+1^2+4^2}=\sqrt{21}}$

となり，求める三角形の面積は

${\displaystyle \frac{\text{S}}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2}}$

となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月17日