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問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

三角形の面積の問題

■問題

空間座標上の3点A(2,1,3)B(3,1,4)C(3,3,5) を頂点とする三角形の面積を求めよ.

■答

32

■ヒント

ベクトルの大きさ|AB×AC| は,ABAC を2辺とする平行四辺形の面積となる. (外積の定義を参照)

よって,平行四辺形の面積をS とすると

S=|AB×AC|

となり,三角形の面積は

S2=|AB×AC|2

となる.

また

AB=(ax  ,ay  ,az)AC=(bx  ,by  ,bz) のとき

AB×AC=(aybzazby  ,azbxaxbz  ,axbyaybx)

(外積の成分表示を参照)

となる.

■答

ABAC の成分を求めると

AB=AO+OB=OBOA =(3,1,4)(2,1,3)=(1,0,1)

AC=AO+OC=OCOA =(3,3,5)(2,1,3)=(1,2,2)

となる.

これより,外積AB×AC を求める.

AB×AC=(aybzazby,azbxaxbz,axbyaybx) より

aybzazby=0×21×2=2

azbxaxbz=1×(1)(1)×2=1

axbyaybx=(1)×20×(1)=2

AB×AC=(2,1,2)

となる.

よって,平行四辺形の面積 S=|AB×AC|

|AB×AC|=|(2,1,2)|=(2)2+12+(2)2=3

となり,求める三角形の面積は

S2=|AB×AC|2=32

と求まる.


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学生スタッフ
最終更新日: 2023年2月17日

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