ベクトルの計算問題

■問題

位置ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が ${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=3}$ を満たしている． ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ のとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点が描く図形を答えよ．

■ヒント

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|}^2}$ ${\displaystyle =\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)\cdot \left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)}$ （ここを参照）

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(x,y\right)}$ ･･････(1)

とおく．

${\displaystyle \left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=3}$ ･･････(2)

(2)の両辺を2乗する．

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|}^2=3^2}$

${\displaystyle \left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)\cdot \left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)=9}$

${\displaystyle \overrightarrow{b}\cdot \left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)-\overrightarrow{a}\cdot \left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)=9}$

${\displaystyle \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=9}$

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-2\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)+{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=9}$ ･･････(3)

となる．

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=x^2+y^2}$ ･･････(4)

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(1,2\right)\cdot \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =x+2y}$ ･･････(5)

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=1^2+2^2=5}$ ･･････(6)

(3)に(4)，(5)，(6)を代入する．

${\displaystyle x^2+y^2-2\left(x+2y\right)+5=9}$

${\displaystyle {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=3^2}$ ･･････(7)

(7)は円の方程式で，円の中心が ${\displaystyle \left(1,2\right)}$ ,半径が $3$ の円を表す．

点$\text{B}$をドラッグして動かしてみよう．

　

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最終更新日： 2025年10月14日