ベクトルの計算問題

■問題

位置ベクトル $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ が $|2 \vec{b} - \vec{a}| = 4$ を満たしている． $\vec{a} = (2, - 1)$ のとき， $\vec{b}$ の終点が描く図形を答えよ．

${|2 \vec{b} - \vec{a}|}^{2}$ $= (2 \vec{b} - \vec{a}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{a})$ 　（ここを参照）

$\vec{b} = (x, y)$ 　･･････(1)

とおく．

$|2 \vec{b} - \vec{a}| = 4$ ･･････(2)

(2)の両辺を2乗する．

${|2 \vec{b} - \vec{a}|}^{2} = 4^{2}$

$(2 \vec{b} - \vec{a}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{a}) = 16$

$2 \vec{b} \cdot (2 \vec{b} - \vec{a}) - \vec{a} \cdot (2 \vec{b} - \vec{a}) = 16$

$(2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{b}) - (2 \vec{b}) \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot (2 \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{a} = 16$

$4 {|\vec{b}|}^{2} - 4 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + {|\vec{a}|}^{2} = 16$ 　･･････(3)

となる．

${|\vec{b}|}^{2} = x^{2} + y^{2}$ 　･･････(4)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2, - 1) \cdot (x, y)$ $= 2 x - y$ 　･･････(5)

${|\vec{a}|}^{2} = 2^{2} + {(- 1)}^{2} = 5$ 　･･････(6)

(3)に(4)，(5)，(6)を代入する．

$4 (x^{2} + y^{2}) - 4 (2 x - y) + 5 = 16$

$4 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 16$

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 2^{2}$ 　･･････(7)

(7)は円の方程式で，円の中心が $(1, - \frac{1}{2})$ ,半径が $2$ の円を表す．

点 $B$ をドラッグして動かしてみよう．

(2)の両辺に $\frac{1}{2}$ をかける．

$|2 \vec{b} - \vec{a}| \times \frac{1}{2} = 4 \times \frac{1}{2}$

$|\frac{1}{2} (2 \vec{b} - \vec{a})| = 2$

$|\vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}| = 2$ 　･･････(8)

となる．(8)より， $\vec{b}$ の終点は， $\vec{a}$ の終点を中心とした半径 $2$ の円を描くことが分かる．

最終更新日： 2025年10月14日