ベクトルの計算問題

■問題

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-1,-1,1\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-1,3,-1\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(1,3,-2\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(3,3,3\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ．

■答

四面体の体積は $8$

■ヒント

△ $\text{ABC}$ を底面とする三角錐と考える．

三角錐の体積を参照

別解へ

■解説

△ $\text{ABC}$ を底面とする三角錐として四面体の体積を計算する．

●底面の●△ $\text{ABC}$ の面積

△ $\text{ABC}$ の面積を $S$ とすると

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|}^2·{\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|}^2-{\left(\overrightarrow{\text{AB}}·\overrightarrow{\text{AC}}\right)}^2}}$ ･･････(1)

である．座標空間の原点を $\text{O}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(-1,3,-1\right)-\left(-1,-1,1\right)}$ ${\displaystyle =\left(0,4,-2\right)}$ ･･････(2)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,3,-2\right)-\left(-1,-1,1\right)}$ ${\displaystyle =\left(2,4,-3\right)}$ ･･････(3)

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|}^2=0^2+4^2+{\left(-2\right)}^2}$ ${\displaystyle =20}$ ･･････(4)

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\text{AC}}\right|}^2=2^2+4^2+{\left(-3\right)}^2}$ ${\displaystyle =29}$ ･･････(5)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}·\overrightarrow{\text{AC}}=\left(0,4,-2\right)\cdot \left(2,4,-3\right)}$ ${\displaystyle =0+16+6}$ ${\displaystyle =22}$ ･･････(6)

(4)，(5)，(6)を(1)に代入する．

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{20·29-{\left(22\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{580-484}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{96}}$ ${\displaystyle =2\sqrt{6}}$ ･･････(7)

●三角錐の高さ

頂点 $\text{D}$ から底面に下した垂線と底面との交点を $\text{H}$ ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ とする．三角錐の高さを $h$ とすると

${\displaystyle h=\left|\overrightarrow{\text{DH}}\right|}$ ･･････(8)

となる．

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{DH}}\right|}$ が三角錐の高さであることより，${\displaystyle \overrightarrow{\text{DH}}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{\text{AH}}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{\text{DH}}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{\text{BH}}}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{\text{DH}}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{\text{CH}}}$ は垂直な関係である．よって

${\displaystyle \overrightarrow{\text{DH}}\cdot \overrightarrow{\text{AH}}=0}$ ･･････(9)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{DH}}\cdot \overrightarrow{\text{BH}}=0}$ ･･････(10)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{DH}}\cdot \overrightarrow{\text{CH}}=0}$ ･･････(11)

が成り立つ．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AH}}=\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(x,y,z\right)-\left(-1,-1,1\right)}$ ${\displaystyle =\left(x+1,y+1,z-1\right)}$ ･･････(12)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{BH}}=\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OB}}}$ ${\displaystyle =\left(x,y,z\right)-\left(-1,3,-1\right)}$ ${\displaystyle =\left(x+1,y-3,z+1\right)}$ ･･････(13)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{CH}}=\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OC}}}$ ${\displaystyle =\left(x,y,z\right)-\left(1,3,-2\right)}$ ${\displaystyle =\left(x-1,y-3,z+2\right)}$ ･･････(14)

${\displaystyle \overrightarrow{\text{DH}}=\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OD}}}$ ${\displaystyle =\left(x,y,z\right)-\left(3,3,3\right)}$ ${\displaystyle =\left(x-3,y-3,z-3\right)}$ ･･････(15)

(9)に(12)，(15)を代入する．

${\displaystyle \left(x-3,y-3,z-3\right)\cdot \left(x+1,y+1,z-1\right)=0}$

${\displaystyle x^2-2x-3+y^2-2y-3+z^2-4z+3=0}$

${\displaystyle x^2-2x+y^2-2y+z^2-4z-3=0}$ ･･････(16)

(10)に(13)，(15)を代入する．

${\displaystyle \left(x-3,y-3,z-3\right)\cdot \left(x+1,y-3,z+1\right)=0}$

${\displaystyle x^2-2x-3+y^2-6y+9+z^2-2z-3=0}$

${\displaystyle x^2-2x+y^2-6y+z^2-2z+3=0}$ ･･････(17)

(11)に(14)，(15)を代入する．

${\displaystyle \left(x-3,y-3,z-3\right)\cdot \left(x-1,y-3,z+2\right)=0}$

${\displaystyle x^2-4x+3+y^2-6y+9+z^2-z-6=0}$

${\displaystyle x^2-4x+y^2-6y+z^2-z+6=0}$ ･･････(18)

(16) , (17)，(18)から成る連立方程式を解く．

(16)−(17)より

${\displaystyle 4y-2z-6=0}$ ･･････(19)

(17)−(18)より

${\displaystyle 2x-z-3=0}$ ･･････(20)

(19)より

${\displaystyle y=\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}}$ ･･････(21)

(20)より

${\displaystyle x=\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}}$ ･･････(22)

(21)，(22)を(16)に代入する．

${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}\right)}^2-2\left(\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}\right)+{\left(\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}\right)}^2-2\left(\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}\right)+z^2-4z-3=0}$

${\displaystyle \frac{1}{4}{z}^2+\frac{3}{2}z+\frac{9}{4}-z-3+\frac{1}{4}{z}^2+\frac{3}{2}z+\frac{9}{4}-z-3+z^2-4z-3=0}$

${\displaystyle \frac{3}{2}{z}^2-3z-\frac{9}{2}=0}$

${\displaystyle z^2-2z-3=0}$

${\displaystyle \left(z+1\right)\left(z-3\right)=0}$

${\displaystyle z=-1,3}$

$z=-1$ のとき，(21)，(22)より

$x=1$ ， $y=1$

$z=3$ のとき，(21)，(22)より

$x=3$ ， $y=3$

よって

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(1,1,-1\right),\left(3,3,3\right)}$

となるが， $\left(3,3,3\right)$ は，点 $\text{D}$ と一致するので，点 $\text{H}$ は $\left(1,1,-1\right)$ となる．したがって

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OH}}=\left(1,1,-1\right)}$ ･･････(23)

である．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{DH}}=\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OD}}}$ ${\displaystyle =\left(1,1,-1\right)-\left(3,3,3\right)}$ ${\displaystyle =\left(-2,-2,-4\right)}$

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{DH}}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{24}}$ ${\displaystyle =2\sqrt{6}}$

${\displaystyle h=\left|\overrightarrow{\text{DH}}\right|=2\sqrt{6}}$ ･･････(24)

●四面体(三角錐)の体積

三角錐の体積＝底面積×高さ× ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

${\displaystyle =2\sqrt{6}\times 2\sqrt{6}\times \frac{1}{3}}$

${\displaystyle =8}$

　

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最終更新日： 2025年10月23日