直線が直交する場合に関する問題

■問題

２つの直線 $y = m_{1} x + n_{1}$ と $y = m_{2} x + n_{2}$ （ $m_{1}$ ， $n_{1}$ ， $m_{2}$ ， $n_{2}$ は定数）が直交するとき， $m_{1}$ ， $m_{2}$ の間にどのような関係があるか，方向ベクトルを用いて求めよ．

■答

$m_{1} m_{2} = - 1$

■ヒント

ベクトルの直交条件を参考にする．

■解説

直線 $y = m_{1} x + n_{1}$ は傾きが $m_{1}$ より $x$ が $1$ 増加すると $y$ は $m_{1}$ 増加する．よって，この直線の方向ベクトル $\vec{d_{1}}$ は

$\vec{d_{1}} = (1, m_{1})$ ･･････(1)

となる．

同様にして，直線 $y = m_{2} x + n_{2}$ の方向ベクトル方向ベクトル $\vec{d_{2}}$ は

$\vec{d_{2}} = (1, m_{2})$ ･･････(2)

となる．

2つの直線が直交していることより， $\vec{d_{2}}$ と $\vec{d_{1}}$ のなす角は $90 °$ となり

$\vec{d_{1}} \cdot \vec{d_{2}} = 0$ （ベクトルの直交条件を参照）･･････(3)

の関係がある．(3)を(1)，(2)より具体的に計算をすると

$\vec{d_{1}} \cdot \vec{d_{2}} = (1, m_{1}) \cdot (1, m_{2})$ $= 1 + m_{1} m_{2}$ $= 0$ ･･････(4)

となり

$m_{1} m_{2} = - 1$

の関係が得られる．

参考：2直線が垂直に交わる条件

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最終更新日： 2025年1月15日