直線の方程式を求める問題

■問題

空間上の2点 $\text{A}\left(2,3,1\right)$ ， $\text{B}\left(5,5,3\right)$ を通る直線の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{2}}$

■ヒント

空間の直線の方程式を参考にする．

■解説

空間上の2点 $\text{A}\left(2,3,1\right)$ ， $\text{B}\left(5,5,3\right)$ を通る直線上の点を点 $\text{P}\left(x,y,z\right)$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AP}}}$

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{AB}}}$　(${\displaystyle t}$ は媒介変数)

${\displaystyle =\overrightarrow{\text{OA}}+t\left(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}\right)}$

${\displaystyle =\left(2,3,1\right)+t\left\{\left(5,5,3\right)-\left(2,3,1\right)\right\}}$

${\displaystyle =\left(2,3,1\right)+t\left(3,2,2\right)}$

よって

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(2,3,1\right)+t\left(3,2,2\right)}$

${\displaystyle \left(x-2,y-3,z-1\right)=t\left(3,2,2\right)}$

の関係が得られる．この関係を各成分ごとに式で表すと

${\displaystyle x-2=3t}$ ， ${\displaystyle y-3=2t}$ ， ${\displaystyle z-1=2t}$

となり，これらを ${\displaystyle t}$ について解く．

${\displaystyle t=\frac{x-2}{3}}$ ， ${\displaystyle t=\frac{y-3}{2}}$ ， ${\displaystyle t=\frac{z-1}{2}}$

以上より

${\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{2}}$

の関係が得られる．この式が求める直線の方程式である．

　

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最終更新日： 2025年12月1日