平面の方程式の問題　別解１

■問題

空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}\left(2,1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(1,3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(1,-1,2\right)}$を通る平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle 2x-y-4z+5=0}$

■ヒント

点 ${\displaystyle \text{A}\left(x_1,y_1,z_1\right)}$ を通り，法線ベクトル ${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}=\left(a,b,c\right)}$の 平面の方程式

${\displaystyle a\left(x-x_1\right)+b\left(y-y_1\right)+c\left(z-z_1\right)=0}$

を用いる．

■解説

法線ベクトル を求める．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,3,1\right)-\left(2,1,2\right)}$ ${\displaystyle =\left(-1,2,-1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,-1,2\right)-\left(2,1,2\right)}$ ${\displaystyle =\left(-1,-2,0\right)}$

${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}\perp \stackrel{⟶}{\text{AB}}}$ より

${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}·\stackrel{⟶}{\text{AB}}=0}$

${\displaystyle \left(a,b,c\right)·\left(-1,2,-1\right)=0}$

${\displaystyle -a+2b-c=0}$　･･････(1)

また，${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}\perp \stackrel{⟶}{\text{AC}}}$ より

${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}=0}$

${\displaystyle (a,b,c)·(-1,-2,0)=0}$

${\displaystyle -a-2b=0}$

${\displaystyle a=-2b}$　･･････(2)

(2)を(1)に代入する．

${\displaystyle -\left(-2b\right)+2b-c=0}$

${\displaystyle c=4b}$　･･････(3)

(1)，(2)，(3)より

${\displaystyle a:b:c=-2:1:4}$

となる.

よって，求める方程式は

${\displaystyle \begin{array}{l}-2\left(x-2\right)+\left(y-1\right)+4\left(z-2\right)=0\\ -2x+y+4z-5=0\end{array}}$

両辺に${\displaystyle -1}$ をかけて

${\displaystyle 2x-y-4z+5=0}$

となる．

●外積で法線ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ を求める

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ -1& 2& -1\\ -1& -2& 0\end{array}\right|}$ 　(ここを参照)

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 0\end{array}\right|\overrightarrow{i}-\left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 0\end{array}\right|\overrightarrow{j}+\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ -1& -2\end{array}\right|\overrightarrow{k}}$

${\displaystyle =\left(0-2\right)\overrightarrow{i}-\left(0-1\right)\overrightarrow{j}+\left(2+2\right)\overrightarrow{k}}$

${\displaystyle =-2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}}$

よって

${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(-2,1,4\right)}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日