問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x^2+y^2\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:-2\leqq x\leqq 2,-2\leqq y\leqq 2\right)}$

■答

${\displaystyle =\frac{128}{3}}$ 

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x^2+y^2\right)dxdy}$

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 x と変数y 積分範囲を決定する．

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2\left\{{\int }_{-2}^2\left(x^2+y^2\right)dy\right\}dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_{-2}^2\left(x^2+y^2\right)dy}$ の計算をする．${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分する．

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2{\left[x^{2}y+\frac{1}{3}{y}^3\right]}_{-2}^{2}dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2\left\{2x^2+\frac{8}{3}-\left(-2x^2-\frac{8}{3}\right)\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2\left(2x^2+\frac{8}{3}+2x^2+\frac{8}{3}\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_{-2}^2\left(4x^2+\frac{16}{3}\right)dx}$

重積分の基本公式から4を積分記号の前にくくりだす． 

${\displaystyle =4{\int }_{-2}^2\left(x^2+\frac{4}{3}\right)dx}$ 

積分結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する． 

${\displaystyle =4{\left[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{4}{3}x\right]}_{-2}^2}$ 

${\displaystyle =4\left\{\frac{8}{3}+\frac{8}{3}-\left(-\frac{8}{3}-\frac{8}{3}\right)\right\}}$ 

${\displaystyle =4\left(\frac{8}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}\right)}$ 

${\displaystyle =4·\frac{8}{3}·4}$ 

${\displaystyle =\frac{128}{3}}$ 

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月2日

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