重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} r sin θ d r d θ$ 　　 $(D : \frac{π}{3} ≦ θ ≦ π, 0 ≦ r ≦ 4)$

$12$

領域 $D$ より変数 $x$ と変数 $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $θ$ を定数とみなして $r$ について積分し，その結果を更に $θ$ で積分する．

$\iint_{D} r sin θ d r d θ$

領域 $D$ より変数 $r$ と変数 $θ$ の積分範囲を決定する．

$= \int_{\frac{π}{3}}^{π} {\int_{0}^{4} r sin θ d r} d θ$

まず， $\int_{0}^{4} r \sin θ d r$ を計算する． $θ$ を定数とみなして $r$ について積分する．

$= \int_{\frac{π}{3}}^{π} {[\frac{1}{2} r^{2} sin θ]}_{0}^{4} d θ$

$= \int_{\frac{π}{3}}^{π} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} sin θ - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} sin θ) d θ$

$= \int_{\frac{π}{3}}^{π} 8 sin θ d θ$

重積分の基本公式から8をくくりだす．

$= 8 \int_{\frac{π}{3}}^{π} sin θ d θ$

積分結果を更に $θ$ で積分する．

$= 8 {[- cos θ]}_{\frac{π}{3}}^{π}$

$= 8 (- cos π + cos \frac{π}{3})$

$= 8 (1 + \frac{1}{2})$

$= 8 \cdot \frac{3}{2}$

$= 12$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月2日